Соотношение неопределенности в Фурье-представлении - 2

Соотношение неопределенностей в Фурье-представлении с применением теоремы Лиувилля (Продолжение)

http://osh9.narod.ru/k6/k6.htm Параграф 2. Стр. 109.


Теорема Лиувилля «развязывает руки» для широкого применения спектрального метода Фурье для нужд механики микромира. В качестве обоснования данного метода приведем весьма кратко общие положения из спектрального анализа.
Распределение некоторой физической величины во времени, по частоте, координатам, скоростям и т.д. называется функцией распределения, плотностью вероятности или просто спектром физической величины по данной переменной. Среди этих параметров можно выделить пары сопряженных независимых переменных, с помощью которых реализуется прямое и обратное преобразование Фурье.
Так, например, распределение величины во времени t можно охарактеризовать также частотным спектром, т.е. распределением по ν, распределение по оси линейных геометрических размеров x - пространственно-частотным распределением по пространственной частоте fx (и аналогично – для других координатных пар переменных). В этих примерах параметры и t, ν, x и xf есть естественным образом сопряженные пары независимых переменных, образующих прямое и обратное преобразования Фурье.
Характерной особенностью прямого и обратного преобразований Фурье является сохранение некоторого своеобразного «фазового объема», существование «закона сохранения» или «инварианта» для переменных, образующих верно подобранную для нужд спектрального анализа сопряженную пару физических величин.
К примеру: если временной импульс имеет длительность Δ t , то его частотный спектр занимает характерную полосу Δ v, пропорциональную 1 / Δ t. Тогда произведение Δ t Δ ν при любых изменениях длительности импульса останется неизменным, т.е. Δ t Δ ν = const, при этом постоянная в правой части, при соответствующим образом подобранных размерностях, близка к единице и определяется, в конечном итоге, формой импульса.
Совершенно аналогичным образом, с учетом теоремы Лиувилля, можно считать, что при анализе движения системы в фазовом пространстве переменные и (q, p) как нельзя лучше подходят в качестве сопряженной пары переменных, предназначенных для применения по отношению к ним спектральных методов Фурье [45].
Таким образом, функция распределения системы частиц по импульсам будет подобна спектру Фурье по пространственным частотам. При этом импульс px (динамическая переменная) с точностью до некоторого размерного коэффициента может служить аналогом пространственной частоты fx для сопряженной кинематической переменной x.
Все математические выкладки легко находим в математических приложениях к известнейшей монографии – или точнее, к учебному пособию для университетов, если проще, то к учебнику, к настольной книге физика-теоретика – Д.И. Блохинцева [6]:
Для установления связи между Δ px2 и Δ x2 рассматривается вспомогательный интеграл:
откуда и получается «знаменитое»: Δ px2 Δ x2 ≥ h2 / 4

Вывод принципа неопределенности в классическом варианте, без утомительных дискуссий о сверхновой идее. Так сказать, «сухой остаток». Здесь лишний раз появляется возможность подчеркнуть, что для вывода этих соотношения принципиально не требуется привлечения никаких специфических «атрибутов» квантовой механики, в частности, фотонов, постулатов Бора, матричной механики Гейзенберга, волновых уравнений Шредингера и т.д..

Более внимательно читайте учебник по Фундаментальной физике -
http://s6767.narod.ru/k6/k6.htm - Решение Ключевых задач физики ХХ века без Постулатов.
Классическая физика берет Реванш за свои поражения в начале ХХ века.
Отныне вся Фундаментальная Физика становится Классической Физикой. Постулаты остаются для догматиков.
Учебник Фундаментальной физики для ХХ1 и ХХII веков Первого физика-теоретика Планеты.

Данная монография изложена очень простым доступным языком в рамках Классической физики. Все основные Ключевые задачи физики ХХ века впервые решены полностью в рамках Классических представлений. Таким образом, Классическая физика берет реванш за свои поражения в начале ХХ века.